বলা হয়ে থাকে, ২১২ খ্রিস্টপূর্বাব্দে যখন আর্কিমিডিসের (খ্রিস্টপূর্ব ২৮৭ - খ্রিস্টপূর্ব ২১২) মৃত্যু হয়, তখন তিনি গণিত ও বিজ্ঞানে যা জানতেন, পঞ্চদশ শতকেও পুরো ইউরোপ তার পুরোটা জানত না। এবং এটা বিন্দুমাত্র অত্যুক্তি নয়। রেনেসাঁ যুগ শুরু হওয়ার আগে পর্যন্ত বিজ্ঞান হাজার হাজার বছর ধরে একই জায়গায় দাঁড়িয়ে ছিল, বরং কোনো কোনো দিকে অবনমন হয়েছিল।
আর্কিমিডিস কি তার সিসিলির বাড়িতে নিজেকে একা মনে করতেন?
সম্ভবত তাই। তিনি ছিলেন তৎকালীন সময়ের শ্রেষ্ঠ মনীষা; তাঁর সমকক্ষ
কোনো গণিতবিদ আশেপাশে কেউ ছিলেন না। যারা ছিলেন, তারা থাকতেন
হাজার হাজার মাইল দূরে। এই কারণেই সম্ভবত তিনি তাঁর বন্ধু গণিতজ্ঞদের চিঠি লিখতেন।
এরকমই একটি চিঠি তিনি লিখেছিলেন তাঁর বন্ধু আরেক কিংবদন্তি এরাটোস্থেনিসকে (Eratosthenes)। এরাটোস্থেনিস
ছিলেন আলেকজান্দ্রিয়ায় বিশ্বের সর্ববৃহৎ গ্রন্থাগারের গ্রন্থাগারিক। আর্কিমিডিস
জানতেন যে তিনি এরাটোস্থেনিসকে যা-ই পাঠাবেন, তা-ই ওই
গ্রন্থাগারে সংরক্ষিত হবে ভবিষ্যতের জন্য। কী ছিল সেই চিঠিতে? সেখানে ছিল
তাঁর নিজস্ব 'কৌশল'—যার ইংরেজি অনুবাদ করলে দাঁড়ায় 'The
Method'।
রহস্যময় পাণ্ডুলিপি ও ২.২ মিলিয়ন ডলারের নিলাম
১৯৯৮ সালে একটি পুরোনো, শেওলা ধরা এবং
অস্পষ্ট বই নিউ ইয়র্কের এক নিলামে ২.২ মিলিয়ন
ডলারে বিক্রি হয়। বইটি ছিল মূলত সন্ন্যাসীদের সাধারণ কিছু
প্রার্থনার সংকলন, কিন্তু এর পাতায় লুকিয়ে ছিল প্রাচীন বিশ্বের শ্রেষ্ঠ
গাণিতিক অন্তর্দৃষ্টি, যা প্রায় চিরতরে হারিয়ে যেতে বসেছিল।
এই পাণ্ডুলিপিটি উন্মোচন করেছিল আর্কিমিডিসের সেই ব্যক্তিগত
কৌশল, যা তিনি তাঁর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ আবিষ্কারগুলোর জন্য ব্যবহার করতেন। যেহেতু
এই পদ্ধতিটি তৎকালীন গাণিতিক নিয়মের বাইরে ছিল, তাই তিনি একে
গোপন রেখেছিলেন। কনস্টান্টিনোপল জয় থেকে শুরু করে নাৎসিদের প্যারিস দখল—সবকিছু
থেকে বেঁচে ফেরা এই বইটিই ছিল আর্কিমিডিসের সেই চিঠির একমাত্র কপি।
বক্ররেখা, জ্যামিতি এবং ক্যালকুলাসের পূর্বাভাস
বক্ররেখা বা বাঁকানো আকৃতি (Curved shapes) নিয়ে
জ্যামিতিতে কাজ করা যথেষ্ট কঠিন। সবচেয়ে সহজ বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের কথাই
ধরা যাক—দ্বিমাত্রিক তলে অবস্থিত একটি বৃত্ত। $r$ ব্যাসার্ধযুক্ত
একটি বৃত্তের পরিধি হবে $2\pi r$। এটা $\pi$-এর সংজ্ঞা থেকেই পাওয়া যায়। কিন্তু ওই একই বৃত্তের
ক্ষেত্রফল কীভাবে পাবেন? আধুনিক গণিতে সবচেয়ে সহজ উপায় হলো সমাকলনের
(Integration) ব্যবহার করা:
উল্টোদিকে, ক্ষেত্রফলকে অবকলিত (Differentiation) করলেও একইভাবে পরিধি পাওয়া যাবে:
d(πr2 )/dr = 2πr
এটি যে শুধু দ্বিমাত্রিক বৃত্তের ক্ষেত্রে খাটবে এমন নয়। যেকোনো মাত্রার ক্ষেত্রেই এই কৌশল অনুসরণ করে আয়তনের সূত্র থেকে পরিধি বা উপরিভাগের ক্ষেত্রফল বের করা সম্ভব। যেমন—r ব্যাসার্ধযুক্ত ত্রিমাত্রিক গোলকের আয়তন হবে 4/3πr3। একে অবকলিত করলে পাওয়া যায়:
নিঃশেষকরণ পদ্ধতি (Method of Exhaustion)
আর্কিমিডিস কীভাবে এসব প্রমাণ করেছিলেন? তিনি অত্যন্ত
জটিল জ্যামিতিক আকারের সাহায্যে এসব সূত্র নির্ণয় করেছিলেন। আর্কিমিডিস তাঁর
অনুমিত উত্তরটিকে সত্য প্রমাণ করতে 'নিঃশেষকরণ
পদ্ধতি' (Method of Exhaustion) ব্যবহার করতেন। এটি অনেকটা শার্লক হোমস-এর সেই
বিখ্যাত উক্তির মতো:
"যখন আপনি অসম্ভবগুলোকে বাদ দেবেন, তখন যা অবশিষ্ট
থাকবে, তা যতই অবিশ্বাস্য হোক না কেন, সেটাই সত্য।"
তিনি এর ভেতরে একটি বহুভুজ
(Polygon) আঁকতেন এবং বাইরে একটি বহুভুজ আঁকতেন। বহুভুজের বাহুর সংখ্যা তিনি ক্রমশ
বাড়িয়ে চলতেন (যেমন- ৬, ১২, ২৪, ৯৬টি বাহু)। যখন তিনি দেখাতেন যে উত্তরটি $X$-এর চেয়ে ছোট
হওয়া অসম্ভব এবং $X$-এর চেয়ে বড় হওয়াও অসম্ভব, তখনই প্রমাণিত
হতো যে উত্তরটি অবশ্যই $X$।
হারিয়ে যাওয়া কোডেক্স সি (Codex C) ও পালিম্পসেস্ট
আর্কিমিডিসের কাজগুলো মূলত তিনটি পাণ্ডুলিপির মাধ্যমে
আমাদের কাছে পৌঁছায়, যার মধ্যে 'কোডেক্স সি'
(Codex C) ছিল একমাত্র কপি যাতে 'কৌশল' (The Method) অন্তর্ভুক্ত ছিল। ১২২৯ সালে পার্চমেন্ট বা
চামড়ার কাগজের অভাব থাকায় একজন লিপিকর, আইওনাস মাইরোনাস, আর্কিমিডিসের
এই অমূল্য গণিতগুলো মুছে ফেলে সেখানে সন্ন্যাসীদের জন্য প্রার্থনার বই তৈরি করেন।
একেই বলা হয় 'পালিম্পসেস্ট'
(Palimpsest)—যেখানে পুরোনো লেখা মুছে নতুন কিছু লেখা হয়।
১৮৯৯ সালে প্যাপাডোপোলোস-কেরামিউস নামক একজন গ্রিক পণ্ডিত
প্রার্থনার বইয়ের মার্জিনে গাণিতিক লেখা লক্ষ্য করেন। ১৯০৬ সালে বিখ্যাত
আর্কিমিডিস বিশেষজ্ঞ জোহান লুডভিগ
হাইবার্গ (Johan Ludvig Heiberg) এটি পরীক্ষা করেন এবং বুঝতে পারেন এটা
আর্কিমিডিসের কোডেক্স সি।
অসীম ক্ষুদ্রের কূটাভাস (Infinitesimal Paradox)
আর্কিমিডিস জানতেন যে, গণনায় 'অসীম ক্ষুদ্র অংশ' (Infinitesimal increments) ব্যবহার করলে
যুক্তিতে ভুল হওয়ার সম্ভাবনা থাকে। একটি জ্যামিতিক আকৃতি যে অসীম সংখ্যক রেখা দিয়ে
তৈরি—এই ধারণাটিকেই মনে করা হতো চরম স্ববিরোধী। যুক্তিটা ছিল: যদি একটি রেখার কোনো
প্রস্থ (Width) না থাকে, তবে আপনি যত রেখাই নিন না কেন, তার ক্ষেত্রফল
তো শূন্য হওয়ার কথা!
আধুনিক ক্যালকুলাস এই সমস্যার সমাধান করে সীমার (Limit) ধারণা দিয়ে। আর্কিমিডিস এই পদ্ধতিটি গোপনে
রেখেছিলেন যাতে তাঁর মূল আবিষ্কারের কঠোর যুক্তি থেকে মানুষের মনোযোগ সরে না যায়।
কিন্তু তাঁর সেই চিঠিতে তিনি এরাটোস্থেনিসকে এই 'যান্ত্রিক
পদ্ধতি' শিখিয়েছিলেন।
আধুনিক পুনরুদ্ধার
১৯৯৮ সালে যখন বইটি পাওয়া যায়, তখন তার অবস্থা
ছিল শোচনীয়। পাতার চারপাশ পুড়ে গিয়েছিল এবং শেওলা ধরেছিল। চারটি পাতায় জাল ছবি
এঁকে আসল লেখা ঢেকে দেওয়া হয়েছিল। বাল্টিমোরের ওয়াল্টার্স আর্ট মিউজিয়ামের
কিউরেটর উইলিয়াম নোয়েল (William Noel) এর
পুনরুদ্ধারের দায়িত্ব নেন।
পরবর্তী ১০ বছর ধরে বিশেষজ্ঞ দল কাজ করেন। শেষ পর্যন্ত স্ট্যানফোর্ড সিনক্রোট্রন রেডিয়েশন ল্যাবরেটরিতে শক্তিশালী এক্স-রে ব্যবহার করে আসল কালিতে থাকা লোহার
বিন্যাস শনাক্ত করা হয় এবং ছবির নিচে লুকানো লেখাগুলো উদ্ধার করা হয়।
আর্কিমিডিস কি তবে ক্যালকুলাস আবিষ্কার করে ফেলেছিলেন? যদিও তিনি 'অসীম ক্ষুদ্র' নিয়ে কাজ করছিলেন, তবুও আধুনিক ক্যালকুলাসের জন্য প্রয়োজন ছিল বীজগণিতের শক্ত ভিত্তি এবং গতির সূত্রের ধারণা। আর্কিমিডিসের শ্রেষ্ঠত্ব প্রমাণ করার জন্য তাঁকে ক্যালকুলাসের জনক বলার প্রয়োজন নেই; তিনি এমনিতেই সর্বকালের অন্যতম শ্রেষ্ঠ মহাপ্রতিভা। তাঁর এই হারিয়ে যাওয়া পদ্ধতি যদি রেনেসাঁ যুগে জানা থাকত, তবে বিজ্ঞানের অগ্রগতি হয়তো কয়েক শতাব্দী এগিয়ে যেত।
